Uma equação é uma sentença matemática que possui uma igualdade e, pelo menos, uma incógnita, ou seja, quando temos o envolvimento de uma expressão algébrica e uma igualdade. O estudo de equações pede conhecimentos prévios, como o estudo sobre expressões numéricas. O objetivo de uma equação é encontrar o valor da incógnita que torne a igualdade em uma identidade, ou seja, uma igualdade verdadeira.
Tópicos deste artigo
Conceitos básicos para o estudo de equação
Uma equação é uma sentença matemática que possui uma incógnita, pelo menos, e uma igualdade, e podemos classificá-la quanto a seu número de incógnitas. Veja alguns exemplos:
a) 5t – 9 = 16
A equação possui uma incógnita, representada pela letra t.
b) 5x + 6y = 1
A equação possui duas incógnitas, representadas pelas letras x e y.
c) t4 – 8z = x
A equação possui três incógnitas, representadas pelas letras t, z e x.
Qual seja a equação, devemos levar em consideração o seu conjunto universo, composto por todos os possíveis valores que podemos atribuir à incógnita, esse conjunto é representado pela letra U.
Considere a equação x + 1 = 0 e sua possível solução x = –1. Considere agora que o conjunto universo da equação são os naturais.
Observe que a suposta solução não pertence ao conjunto universo, uma vez que os elementos dele são todos os possíveis valores que a incógnita pode assumir, portanto, x = –1 não é a solução da equação.
Claro que quanto maior o número de incógnitas, maior é a dificuldade de determinar sua solução. A solução ou raiz de uma equação é o conjunto de todos os valores que, quando atribuídos à incógnita, tornam a igualdade verdadeira.
Considere a equação com uma incógnita 5x – 9 = 16, verifique que x = 5 é solução ou raiz da equação.
Para que seja possível afirmar que x = 5 é a solução da equação, devemos substituir esse valor na expressão, caso encontremos uma igualdade verdadeira, o número será a solução testada.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Veja que a igualdade encontrada é verdadeira, logo, temos uma identidade e o número 5 é solução. Assim podemos dizer que o conjunto solução é dado por:
S = {5}
Considere a equação t2 = 4 e verifique se t = 2 ou t = –2 são soluções da equação.
De maneira análoga, devemos substituir o valor de t na equação, entretanto, observe que temos dois valores para a incógnita e que, portanto, devemos realizar a verificação em duas etapas.
Etapa 1 – Para t = 2
t2 = 4
22 = 4
4 = 4
Etapa 2 – Para t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Veja para t = 2 e t = – 2 encontramos uma identidade, portanto, esses dois valores são soluções da equação. Assim, podemos dizer que o conjunto solução é:
S = {2, –2}
Tipos de equação
Podemos classificar também uma equação quanto à posição que as incógnitas ocupam. Veja os principais tipos:
As equações polinomiais são caracterizadas por terem um polinômio igual a zero. Veja alguns exemplos:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0
Os números 6, 5 e –5 são os coeficientes da equação.
b) 9x – 9 = 0
Os números 9 e – 9 são os coeficientes da equação.
c) y2 – y – 1 = 0
Os números 1, – 1 e – 1 são os coeficientes da equação.
As equações polinomiais podem ser classificadas quanto ao seu grau. Assim como os polinômios, o grau de uma equação polinomial é dado pela maior potência que possui coeficiente diferente de zero.
Dos exemplos anteriores a, b e c, temos que os graus das equações são:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Equação polinomial do terceiro grau
b) 9x – 9 = 0 → Equação polinomial do primeiro grau
c) y2 – y – 1 = 0 → Equação polinomial do segundo grau
As equações racionais são caracterizadas por ter suas incógnitas no denominador de uma fração. Veja alguns exemplos:
Leia também: O que são números racionais?
As equações irracionais são caracterizadas por ter suas incógnitas no interior de uma raiz n-ésima, ou seja, no interior de um radical que possui índice n. Veja alguns exemplos:
As equações exponenciais possuem as incógnitas localizadas no expoente de uma potência. Veja alguns exemplos:
As equações logarítmicas são caracterizadas por ter uma ou mais incógnitas em alguma parte do logaritmo. Veremos que, ao aplicar-se a definição do logaritmo, a equação cai em alguns dos casos anteriores. Veja alguns exemplos:
Como resolver uma equação?
Para resolvermos uma equação, devemos estudar os métodos utilizados em cada tipo, isto é, para cada tipo de equação, existe um método diferente para determinar-se as possíveis raízes. Entretanto todos esses métodos são derivados do princípio da equivalência, com ele é possível resolver os principais tipos de equação.
Princípio da equivalência
Segundo princípio da equivalência, podemos operar livremente em um dos lados de uma igualdade desde que façamos o mesmo do outro lado da igualdade. Para melhorar o entendimento, nomearemos esses lados.
A fim de verificar o princípio da equivalência, considere a seguinte igualdade:
5 = 5
Agora, vamos adicionar em ambos os lados o número 7, e observe que a igualdade ainda será verdadeira:
5 =5
5 + 7 = 5 + 7
12 = 12
Vamos agora subtrair 10 em ambos os lados da igualdade, observe novamente que a igualdade ainda será verdadeira:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
Veja que podemos multiplicar ou dividir e elevar a uma potência ou até mesmo extrair uma raiz, desde que seja feita no primeiro e segundo membro, a igualdade sempre se manterá verdadeira.
Para resolver uma equação, devemos utilizar esse princípio unido ao conhecimento das operações citadas. A fim de facilitarmos o desenvolvimento das equações, vamos omitir a operação feita no primeiro membro, sendo equivalente dizer que estamos passando o número para o outro membro, trocando o sinal pelo oposto.
A ideia para determinar-se a solução de uma equação é sempre isolar a incógnita utilizando-se o princípio da equivalência, veja:
Utilizando o princípio da equivalência, determine o conjunto solução da equação 2x – 4 = 8 sabendo que o conjunto universo é dado por: U = ℝ.
2x – 4 = 8
Para resolvermos uma equação polinomial do primeiro grau, devemos deixar a incógnita no primeiro membro isolada. Para isso, tiraremos o número –4 do primeiro membro, somando 4 a ambos os lados, uma vez que – 4 + 4 = 0.
2x – 4 = 8
2x – 4 + 4 = 8 + 4
2x = 12
Veja que realizar esse processo é equivalente a simplesmente passar o número 4 com sinal oposto. Assim, para isolarmos a incógnita x, vamos passar o número 2 para o segundo membro, uma vez que ele está multiplicando o x. (Lembre-se: a operação inversa da multiplicação é a divisão). Seria o mesmo que dividir ambos os lados por 2.
S = {6}
Resolva a equação 2x+5 = 128 sabendo que o conjunto universo é dado por U = ℝ.
Para resolver a equação exponencial, vamos, primeiro, utilizar a seguinte propriedade da potenciação:
am + n = am · an
Usaremos também o fato de que 22 = 4 e 25 = 32.
2x+5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Observe que é possível dividir ambos os lados por 32, ou seja, passar o número 32 para o segundo membro dividindo.
Assim temos que:
2x = 4
2x = 22
O único valor de x que satisfaz a igualdade é o número 2, portanto, x = 2 e o conjunto solução é dado por:
S = {2}
As equações estão presentes em diversos campos da ciência.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Considere o conjunto universo U = ℕ e determine a solução da equação irracional a seguir:
Resolução
Para resolvermos essa equação, devemos preocupar-nos em eliminar a raiz do primeiro membro. Observe que, para isso, é necessário elevarmos o primeiro membro ao mesmo índice da raiz, ou seja, ao cubo. Pelo princípio da equivalência, devemos também elevar o segundo membro da igualdade.
Veja que agora devemos resolver uma equação polinomial do segundo grau. Vamos passar o número 11 para o segundo membro (subtrair 11 em ambos os lados da igualdade), com o intuito de isolarmos a incógnita x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Agora para determinar o valor de x, veja que existem dois valores que satisfazem a igualdade, x’ = 4 ou x’’ = –4, uma vez que:
42 = 16
e
(–4)2 = 16
Entretanto, observe no enunciado da questão que o conjunto universo dado é o conjunto dos números naturais, e o número –4 não pertence a ele, assim, o conjunto solução é dado por:
S = {4}
Questão 2 – Considere a equação polinomial x2 + 1 = 0 sabendo que o conjunto universo é dado por U = ℝ.
Resolução
Pelo princípio da equivalência, subtraia 1 em ambos os membros.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Veja que a igualdade não possui solução, uma vez que o conjunto universo são os números reais, isto é, todos os valores que a incógnita pode assumir são reais, e não existe número real que, quando elevado ao quadrado, seja negativo.
12 = 1
e
(–1)2 = 1
S = {}