A análise combinatória é um campo de estudo da matemática associado com as regras de contagem. No início do século XVIII, o estudo sobre jogos envolvendo dados e cartas fez com que as teorias de contagem tivessem grande desenvolvimento.
O trabalho da análise combinatória possibilita a realização de contagens cada vez mais precisas. O princípio fundamental da contagem (PFC), o fatorial e os tipos de agrupamento são exemplos de conceitos estudados na análise combinatória, que, além de propiciar maior precisão, auxilia no desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a probabilidade e o binômio de Newton.
Leia também: Arranjo ou combinação?
Tópicos deste artigo
Para que serve a análise combinatória?
A analise combinatória está associada com o processo de contagem, ou seja, o estudo dessa área da matemática possibilita-nos desenvolver ferramentas que nos auxiliam na realização de contagens de maneira mais eficiente. Vamos analisar um problema típico de contagem, veja:
Considere três cidades A, B e C interligadas pelas rodovias R1, R2, R3, R4 e R5. Determine de quantas maneiras podemos ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B.
Observe que precisamos sair da cidade A e ir para cidade B, e somente depois podemos seguir viagem para cidade C, assim vamos analisar todas as possibilidades de realizarmos o evento seguindo as rodovias.
1ª maneira: R1 → R3
2ª maneira: R1 → R4
3ª maneira: R1 → R5
4ª maneira: R2 → R3
5ª maneira: R2 → R4
6ª maneira: R2 → R5
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Princípio fundamental da contagem (PFC)
Considere um evento E que possa ser realizado em n etapas independentes e consecutivas. Agora, considere que o número de possibilidades de realizar-se a primeira etapa seja igual a P1, imagine também que o número de possibilidades de realizar-se a segunda etapa seja de P2, e assim sucessivamente, até que cheguemos à última etapa, que possui Pn possibilidades de ser realizada.
O princípio fundamental da contagem (PFC) afirma que o total de possibilidades de realizar-se o evento E é dado por:
P1 ·P2 · … · Pn
Dessa forma, o total é dado pelo produto das possibilidades de cada uma das etapas que constituem o evento E. Observe que, para determinar-se o total de possibilidades de realização do evento E, é necessário conhecer-se o total de possibilidades de cada uma das etapas.
Vamos refazer o exemplo 1 utilizando-nos do princípio fundamental da contagem.
Considere a imagem do exemplo 1.
Observe que o evento pode ser realizado em duas etapas, a primeira consiste em ir da cidade A para cidade B, e a segunda, em ir da cidade B para cidade C. Para realizarmos a primeira etapa, temos duas possibilidades (estradas R1 e R2), e, para realizarmos a segunda etapa, temos três possibilidades (R3, R4 e R5).
1ª etapa → duas possibilidades
2ª etapa → três possibilidades
Pelo princípio fundamental da contagem, devemos multiplicar o total de possibilidades de cada etapa.
2 · 3
6
De quantas maneiras podem ser distribuídas as três medalhas olímpicas numa prova de mountain bike com cinco competidores?
Organizar a distribuição das medalhas é um evento que pode ser realizado em três etapas. A primeira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de quem ficará com a medalha de ouro, ou seja, cinco possibilidades.
A segunda etapa consiste em analisar-se as possibilidades de quem ficará com a medalha de prata, ou seja, quatro, uma vez que o primeiro colocado não entra nessa escolha. A terceira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de quem ficará com a medalha de bronze, ou seja, três, uma vez que os dois primeiros já foram escolhidos.
1ª etapa → cinco possibilidades
2ª etapa → quatro possibilidades
3ª etapa → três possibilidades
Então, pelo princípio fundamental da contagem, temos:
5 · 4 · 3
60 possibilidades
Fatorial
O fatorial é uma forma de decompor-se um número natural. Para calcular-se o fatorial de um número, basta multiplicá-lo por todos os seus antecessores até o número 1. O fatorial é representado pelo sinal de exclamação — “!”.
Veja alguns exemplos de como se calcular o fatorial de alguns números.
a) 2! (lê-se: dois fatorial)
Para o cálculo, basta multiplicarmos o número que acompanha o fatorial por todos seus antecessores até o número 1, assim:
2! = 2 ·1 = 2
b) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
c) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formalmente podemos escrever o fatorial da seguinte maneira:
Considere um número natural n > 2. O fatorial de n é indicado por n! e é dado pela multiplicação de n por todos seus antecessores inteiros positivos.
n! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
Observe os fatoriais a seguir:
4! e 5!
Agora realize o desenvolvimento de ambos:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Calcule o fatorial a seguir:
Veja que o 15! foi desenvolvido até o 13!. Observe também que, no numerador da fração, os elementos estão sendo multiplicados, logo, podemos “cortar” o 13!, resultando somente em 15 · 14.
Observação: 0! = 1
Tipos de agrupamento
Alguns problemas de contagem são mais complexos e resolvidos com maior facilidade mediante novas ferramentas. Essas ferramentas são chamadas de agrupamento, pois elas agrupam elementos de diferentes maneiras, facilitando o processo de contagem. São esses agrupamentos: arranjo simples, permutação, e combinação simples.
Considere um conjunto com n elementos distintos. Vamos chamar de arranjo de n os elementos tomados p a p, qualquer sequência ordenada por p, e os elementos distintos escolhidos entre os n elementos.
Dessa forma, a quantidade de subconjuntos formados por p elementos será o arranjo de n elementos tomados p a p. A fórmula que nos permite realizar o cálculo do número de arranjos é dada por:
Calcule o valor de A4,2 + A5,2.
Para calcularmos o valor da expressão, vamos determinar cada um dos arranjos e, em seguida, somar esses valores. Para determinarmos o valor de cada arranjo, devemos substituir os valores na fórmula.
Veja que n = 4 e p = 2, ambos foram substituídos na fórmula. Agora, devemos calcular o valor do arranjo de cinco elementos tomados dois a dois.
Assim, temos que:
A4,2 + A5,2
12 + 20
32
Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Nesse problema podemos utilizar o arranjo simples, uma vez que 2435 ≠ 4235. Veremos que, em alguns casos, a ordem dos elementos não os diferencia, e, dessa forma, não podemos utilizar o arranjo.
Como queremos determinar o total de números que podem ser formados, observe que o total de elementos é igual a oito, e queremos agrupá-los de quatro em quatro, portanto:
Considere um conjunto com n elementos. Vamos chamar de permutação simples de n elementos todo arranjo de n elementos tomados n a n. Assim temos que:
Pn = n!
Calcule P7 e P3.
Para calcularmos essas permutações, devemos substituir os valores na fórmula. Veja:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Determine quantos anagramas podem haver na palavra Brasil.
Entendemos como anagrama todas as possíveis transposições das letras da palavra, por exemplo, “Lisarb” é um anagrama da palavra Brasil. Para determinarmos a quantidade de anagramas, devemos calcular a permutação das letras da palavra, assim temos que:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Considere um conjunto A com n elementos distintos. Vamos chamar de combinação dos n elementos tomados p a p qualquer subconjunto de A formado por p elementos. A fórmula para o calculo da combinação é dada por:
Calcule a combinação de 10 elementos tomados de quatro a quatro.
Quantos quadriláteros distintos podemos formar com vértices nos pontos A, B, C, D, E e F?
Veja que o quadrilátero ABCD é igual ao quadrilátero CDBA nesse contexto, logo, devemos utilizar a combinação e não arranjos. Temos o total de seis pontos e queremos combiná-los de quatro em quatro, assim:
Análise combinatória e probabilidade
O estudo da probabilidade está intimamente relacionado com o estudo da análise combinatória. Em alguns problemas da probabilidade, é necessário determinar-se o espaço amostral, que consiste em um conjunto formado por todos os possíveis resultados de um determinado evento.
Em alguns casos, o espaço amostral E é escrito de maneira bem direta, como no lançamento de uma moeda honesta, em que os possíveis resultados são cara ou coroa e são denotados da seguinte maneira:
E = {cara, coroa}
Agora imagine a seguinte situação: um dado é lançado três vezes consecutivas e estamos interessados em determinar o espaço amostral desse experimento. Veja que anotar todas as possibilidades já não é uma tarefa tão simples, precisamos utilizar o princípio fundamental da contagem (PFC). O evento pode ser realizado em três etapas, em cada uma delas temos seis possibilidades, uma vez que um dado possui seis faces, assim:
1ª etapa → seis possibilidades
2ª etapa → seis possibilidades
3ª etapa → seis possibilidades
Pelo PFC, temos que o total de possibilidades é de:
6 · 6 · 6
216
Assim podemos dizer que o espaço amostral desse evento é 216.
Veja que para o estudo da probabilidade é necessário ter-se um conhecimento básico de análise combinatória, pois, sem determinarmos o espaço amostral de um experimento, é impossível resolvermos a grande maioria dos exercícios de probabilidade. Para saber mais detalhes sobre esse campo da matemática, leia o texto: Probabilidade.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Determine a quantidade de anagramas da palavra castelo. Em seguida, determine a quantidade de anagramas que começam com a letra c.
Resolução
Para determinarmos a quantidade de anagramas, devemos calcular a permutação da quantidade de letras, assim:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
A palavra possui 5040 anagramas. Agora, para determinarmos a quantidade de anagramas que começam com a letra c, devemos fixar a letra e calcular o anagrama das demais, veja:
C __ __ __ __ __ __
Ao fixarmos a letra c, note que sobraram seis campos para calcularmos a permutação, assim:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Questão 2 – Em uma sala de aula, tem-se cinco homens e sete mulheres. Quantos grupos de três homens e quatro mulheres podem ser formados?
Resolução
Primeiramente, veja que a ordem na qual escolhemos as pessoas não importa, por exemplo o grupo formado por João, Marcos e José é o mesmo grupo formado por Marcos, João e José, portanto, devemos utilizar a combinação para o cálculo.
Vamos calcular separadamente a quantidade de grupos que podem ser formados por homens e mulheres, e, em seguida, vamos multiplicar esses resultados, pois cada grupo de homens pode misturar-se com cada grupo de mulheres.
Homens
Total → 5
Quantidade no grupo → 3
Mulheres
Total → 7
Quantidade no grupo → 4
C5,3 · C7,4
10 · 35
350