A proporção é definida como a igualdade entre duas razões, caso essa igualdade seja verdadeira, então dizemos que os números que foram as razões na ordem dada são proporcionais.
O estudo das proporções é essencial para o desenvolvimento matemático, pois elas possibilitam-nos relacionar grandezas, assim resolvendo problemas do nosso cotidiano. São exemplos de proporções: escala de um mapa, velocidade média de um móvel, e densidade de uma solução.
Leia também: Problemas envolvendo números fracionários
Tópicos deste artigo
O que é razão e proporção?
A razão entre dois números é o quociente entre eles na ordem em que são dados. Sejam a e b dois números racionais, em que b é diferente de 0, a razão entre a e b é dada por:
Quando se tem duas razões e ambas estão sendo comparadas por uma igualdade, então temos uma proporção. Caso a igualdade seja verdadeira, então os números serão proporcionais, caso contrário, então eles não serão proporcionais.
Os números racionais a, b, c e d são proporcionais se, e somente se, a igualdade a seguir for verdadeira.
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Propriedades da proporção
Considere a seguinte proporção entre os números a, b, c e d:
Então as seguintes propriedades são válidas:
Propriedade 1 – O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicação cruzada).
Propriedade 2 – A razão entre a soma (ou diferença) dos dois primeiros termos e o primeiro termo é igual à razão entre a soma (ou diferença) dos dois últimos termos e o terceiro termo.
Leia também: Propriedades da proporção – quais são e como calcular?
Como calcular proporções
Para verificar ou calcular se, de fato, os números são proporcionais, basta aplicar a primeira propriedade, caso a igualdade seja verdadeira, então os números são proporcionais. Veja os exemplos:
Exemplo 1
Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais.
Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a multiplicação cruzada.
Observe que a igualdade é verdadeira, assim os números formam, nessa ordem, uma proporção.
Exemplo 2
Sabe-se que os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de x.
Grandezas direta e inversamente proporcionais
Grandeza, em matemática, é tudo aquilo que é possível medir ou mensurar, por exemplo, quantidade, distância, massa, volume etc. As grandezas podem ser diretamente proporcionais (GDP) ou inversamente proporcionais (GIP), vejamos a diferença entre elas:
Grandezas diretamente proporcionais
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Massa (kg)
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Peso (N)
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30
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300
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60
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600
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80
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800
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Observe que a razão entre as grandezas é sempre igual:
O mesmo vai acontecer se realizarmos a razão entre os demais valores.
Na tabela de massa x peso, veja que quanto maior é a massa do objeto (↑), maior será o peso dele (↑), logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
Exemplo
Os números x, t e 2 são diretamente proporcionais aos números 5, 6 e 10. Determine os valores de x e t.
Como o exemplo afirmou-nos que os números são diretamente proporcionais, então a razão entre eles é igual, assim:
5x = 5
x = 1
e
5t = 6
t = 6 ÷ 5
t = 1,2
Grandezas inversamente proporcionais
Duas ou mais grandezas serão inversamente proporcionais se a razão entre os valores da primeira for igual ao inverso da razão dos valores da segunda. Podemos interpretar isso de outra maneira, se uma grandeza cresce (↑) e a outra grandeza decresce (↓), então elas são inversamente proporcionais. Veja o exemplo:
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.
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Velocidade (km/h)
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Tempo (horas)
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50
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2
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100
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1
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150
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0
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Observe que quanto maior é a velocidade de determinada viagem (↑), menor será o tempo dessa viagem (↓). Veja também que se pegarmos a razão entre dois valores da primeira grandeza e o inverso da razão de dois valores da segunda grandeza, a igualdade será verdadeira.
Exemplo
Divida o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6.
Como queremos dividir o número 120 em duas partes e desconhecemo-las, vamos chamá-las de a e 120 – a. Pela definição de inversamente proporcional, a razão entre os primeiros valores é igual ao inverso da razão dos dois últimos valores. Assim:
Como a outra parte é 120 – a, então:
120 – a
120 – 72
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Exercício resolvido
Questão 1 – (Fuvest) Na tabela a seguir, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m.
Resolução
Observe que o enunciado afirma que os valores de y são inversamente proporcionais aos do quadrado de x, ou seja, a razão entre os valores de y será igual ao inverso dos valores de x elevado ao quadrado.
Usando a mesma lógica, vamos determinar o valor de m.