Produtos notáveis

Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos:

2x + 3 = 4

-y + 2x + 1 = 0

z² + ax + 2y = 3

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2) . (x + 2) =

(y – 3) . (y – 3) =

(z + 4 ). ( z – 4) =

Cinco casos de Produtos Notáveis

Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

• • quadrado = expoente 2;

     

 

• • Soma de dois termos = a + b;

     

 

• • Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)²

     

 

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)² = (a + b) . (a + b) =

= a² + a . b + a . b + b² =

= a² + 2 . a . b + b²

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 + a)² =

= 2² + 2 . 2 . a + a² =

= 4 + 4 . a + a²

(3x + y)² =

= (3 x)² + 2 . 3x . y + y² =

= 9x² +6 . x . y + y²

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

• • Quadrado = expoente 2;

     

 

• • Diferença de dois termos = a – b;

     

 

• • Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a – b)².

     

 

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a – b)² = (a – b) . (a – b)

= a² – a . b – a . b + b² =

= a² – 2 .a . b + b²

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a – b)² = a² – 2 .a . b + b²

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)² =

= a² – 2 . a . 5c + (5c)² =

= a^{2 –} 10 . a . c + 25c²

(p – 2s) =

= p² – 2 . p . 2s + (2s)^{2 =}

= p² – 4 . p . s + 4s²

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

• • Produto = operação de multiplicação;

     

 

• • Soma de dois termos = a + b;

     

 

• • Diferença de dois termos = a – b;

     

 

• • O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)

     

 

Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) =

= a² – ab + ab – b² =

= a² + 0 + b² = a² – b²

Não pare agora… Tem mais depois da publicidade 😉

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a² – b²

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) . (2 + c) =

= 2² – c² =

= 4 – c²

(3x² – 1) . (3x² + 1) =

= (3x²)² – 1² =

= 9x⁴ – 1

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

• • Cubo = expoente 3;

     

 

• • Soma de dois termos = a + b;

     

 

• • Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)³

     

 

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b) =

= (a² + a . b + a . b + b²) . (a + b) =

= ( a² + 2 . a . b + b² ) . ( a + b ) =

= a³ +2. a² . b + a . b² + a² . b + 2 . a . b² + b³ =

= a³ +3 . a² . b + 3. a . b² + b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos

(3c + 2a)³ =

= (3c)³ + 3 . (3c)² .2a + 3 . 3c . (2a)² + (2a)³ =

= 27c³ + 54 . c² . a + 36 . c . a² + 8a³

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

• • Cubo = expoente 3;

     

 

• • Diferença de dois termos = a – b;

     

 

• • Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a – b )³.

     

 

Efetuando os produtos, obtemos:

(a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b) =

= (a² – a . b – a . b + b²) . (a – b) =

= (a² – 2 . a . b + b²) . (a – b) =

= a³ – 2. a² . b + a . b² – a² . b + 2 . a . b² – b³ =

a³ – 3 . a² . b + 3. a . b² – b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a – b)³ = a³ – 3 . a² . b + 3 . a . b² – b³

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x – 2y)³ =

= x³ – 3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)² – (2y)³ =

x³ – 6 . x² . y + 12 . x . y² – 8y³